科学家讲座：《数学的无底漏洞》

著名科学家、发明家、媒体主播名家、德里克·穆勒（Derek Muller）在网上最近的一个讲座，刚出5天播放量即达近5百万。小编觉得有必要介绍一下以飨读者，下面是这个英文讲座的翻译。

在数学世界中有着一个无底漏洞，这意味着我们永远无法对所有事物都获得确切的认知。数学世界中永远存在着无法被证明的真命题，没人能确切知道这些命题是什么。

就可能是像孪生素数猜想之类的，孪生素数是指那些差值为2的一对素数，例如11和13、17和19。沿着数轴正方向一直走，素数的出现频率逐渐降低，孪生素数也愈发稀少。然而孪生素数猜想认为，存在无限多孪生素数，永远数不完。到目前为止，还没有人能证明或证伪这个猜想。

令人惊奇的是，我们可能永远无法知道，因为已经有人证明了一个事实：在任何能够进行基本算术的数学系统中，总会存在一些无法证明的真命题，那就是“生命”。确切地说，是1970年数学家约翰-康威创造的“生命游戏”。遗憾的是他在2020年因感染新冠病毒逝世。

康威生命游戏是在一个无限大的网格上进行的，格子里的每个细胞只有死和活两种状态，规则只有两条：①如果一个死细胞周围有三个活细胞，它下一刻会复活；②如果一个活细胞周围的活细胞少于2个或多于3个，它下一刻会死掉。设定了网格一开始的状态后，就可根据这两条规则计算出下一刻的场景，然后再下一刻，以此类推。这完全是自动的，所以康威称它是“零玩家游戏”。

尽管规则很简单，但游戏里的“生命”却能够产生多种多样的行为。有的图案很稳定，形成后就不再变动；有的图案则会往复变化；有几个图案甚至可以在网格上移动；许多图案则会湮灭。但有少数几个会不断生长下去，不停地生成新的细胞。

现在你可能觉得，既然规则那么简单，是不是可以光看初始图案，就能判定它最后是会到达一个稳定的状态，还是会无限地增殖下去。然而，这个问题实际上无法回答。

康威生命游戏里图案的最终命运是无法判定的，意思是不存在哪个算法能保证在有限的时间内判定图案的结果。你当然可以试着让图案运行一下看看会发生什么，毕竟这个游戏说到底也是一种算法。

然而这依然不能保证解答这个问题，因为即使跑了一亿轮，仍不能断定是永远循环呢，还是跑到两亿轮、十亿轮、乃至上千万亿轮再终止。

生命游戏有没有什么特殊之处 导致它是无法判定的呢？并没有，实际上有很多很多的系统都是不可判定的，包括王浩瓷砖、量子物理、机票订票系统、乃至万智牌。

要想知道为何许多方面都存在不可判定性？我们先得回到150年前，回到数学史上的那场全面革命。

1874年，德国数学家格奥尔格·康托尔开创了被称为“集合论”的新型数学分支。集合就是有确切定义的一堆东西。你脚上穿着的两只鞋构成了一个集合，世界上的所有天文台也构成一个集合，什么都没有的集合——空集，还有包含所有东西的集合。

康托尔在思考数集，例如由正整数1、2、3、4等组成的自然数集，以及包含了1/3、 5/2等分数，和 π,、e 和 √2 等无理数的实数集。简单地说，所有能用无限小数写出来的数都在实数集里。

他寻思，“所有自然数”和“0到1之间的实数”，哪个更多呢？答案看似很显然，二者都包含无限多的数，所以两个集合当然也就一样大了。

为验证这个思路，康托尔虚构了一个无限长的清单，左边是所有的自然数，右边是0和1之间的所有实数，表中的实数均为无限小数 并不能找到所谓的第一个实数，所以我们把实数随意地写下来即可。

关键是保证我们不重复地列出了所有的实数，并且让它们和所有正整数一一对应。如果我们能没有遗漏地匹配上所有实数，就证明了自然数的集合和0到1之间的实数的集合一样大。假设我们成功得到了一张完整的无穷列表，里面的自然数就像索引一样，唯一的对应上了列表里的每一个实数。

文章来源：《数学的实践与认识》 网址: http://www.sxdsjyrs.cn/zonghexinwen/2021/0610/613.html