1道初中数学竞赛题：求代数式的最小值，看似很

大家好！本文和大家分享一道初中数学竞赛题。题目是：求代数式2x^2+4xy+5y^2+4x+6y+13的最小值。

最值问题是中学数学的常考点，也是难点，不少同学看到这道题目后表示太难了，完全没有思路。其实，这道题看似很难，只要我们确定主元后，答案已经在向我们招手了。下面一起来看一下这道题。

这是一个多项式，而且式子中有x和y两个变量，初中阶段并没有讲直接求双变量代数式的值的方法，所以我们需要先确定一个变量作为主元，而把另外一个作为参数参与计算。具体是把x还是y作为主元，需要根据题目来确定，一般来说没有特别说明或者特殊条件的情况下，任选一个都可以。下面我们就选x做主元。

令原代数式为t，然后将得到的等式整理成关于x的一元二次方程。

因为原代数式存在最小值，也就是构造的这个一元二次方程有实数根，所以判别式大于等于0，即：

△=(4y+4)^2-4×2(5y^2+6y+13-t)≥0；

整理，得到：t≥3y^2+2y+11。

接下来，只需要求出3y^2+2y+11的最小值即可。很明显，对于这个二次三项式可以采用配方法求最小值。

令f(x)=2x^2+4xy+5y^2+4x+6y+13，则原式就变成了关于x的二次函数，y为参数，原式的最小值就是这个二次函数的最小值。

这是一个开口向上的二次函数，所以在顶点处取得最小值。计算顶点纵坐标的值有两个方法：一是直接代入顶点坐标公式计算；二是将对称轴的x的值代入原函数解析式，求出函数值。个人比较喜欢第二个方法。

因为在这个函数中，x的一次项系数、常数项里都含有参数y，所以得到的函数值也有y，需要进一步求含y的代数式的最小值。

解法三：配方法

配方法就是配出完全平方的形式，但是该怎么配方呢？

有同学配成了(x+2y)^2+(x+2)^2+(y+3)^2的形式，这个形式看起来很简单，三个部分都是大于等于零，所以最小值就是0。

这样做对不对呢？显然是不对的，因为这三个完全平方为零的条件分别是x=-2y、x=-2、y=-3，这三个条件不可能同时满足，所以答案也是有问题的。

配成三个完全平方，同时取等的条件不容易满足，那么配成两个取等的条件是不是就更容易满足了呢？

所以，我们就要想办法配出两个完全平方相加的形式。具体方法见下图：

这道初中数学竞赛题的难度确实不小，但是只要确定其中一个变量为主元，另外一个变量为参数，解题的思路也就出来了，也就是确定主元是解题的关键。

这道题就和大家分享到这里，你有好题也可以在此分享。