浅谈保险业中概率统计知识的应用①

保险和我们的生活息息相关。除了覆盖面极其广泛的社保和医保等基础的保险之外。近些年，雨后春笋般涌现出来的大大小小的保险公司也推出了各式各样的保险业务。财产险和意外伤害险都是比较常规的品种。随着用户需求的提升，保险公司也面向一些特殊的群体推出了针对性很强的特色险种。钢琴家为手保险、模特为自己的身材缴纳巨额保险金这些新闻已经屡见不鲜。很多人在自己没有察觉的情况下就已经办理了一些保险，如支付宝提供的财产安全险、微信钱包的财付通安全险等。这其中有些是商家免费提供的，有些则是需要自己缴纳一些保险金。不可否认的是，保险已经囊括了我们生活的方方面面。

保险，在法律和经济学意义上，是一种风险管理方式，主要用于经济损失的风险[1]。保险是指通过支付一定的费用，将一个实体潜在损失的风险转移到一组实体的平均水平上[2]。随着社会经济的发展，人们的生活水平普遍得到了提升，保险也逐渐被人们所重视。各种保险公司应运而生，提供保险的种类丰富繁杂，有人寿保险、社会保险、财产保险等，他们对某一业务进行评估，若判定有较大的获利可能，便接受与客户共担风险。没有任何商业买卖是不需要经过预测评判的，随着实用型知识的发展，运用数学方法对商业数据进行定性定量分析，对事物的发展变化趋势进行预测，从而对商业买卖是否能获利，做出较准确的判断。该文就将简单分析保险中蕴含的概率统计的知识，对概率统计在保险业中的意义和作用进行简单讨论。

1 中心极限定理在保险中的应用

中心极限定理适用于一个受到多重随机因素影响的现象，且这些因素不仅相互独立，还对结果的产生都十分微小，这样可以将其看作是呈正态分布的。换而言之，n个风险单位的随机样本，每个独立且符合正态分布。那么，我们可以近似地将其看作是正态分布，以简化计算。以保险公司的保险服务为例，探讨保险公司在企业、单位和个人购买保险服务时是否会出现赔钱的问题。假设一家保险公司有2500人投保，一年内死亡概率为0.001，每人每年第一天向保险公司缴纳保险费12元。如果他们死了，他们的家庭成员将获得2000元的保险费。下面讨论两个问题：(1)保险公司一年赚一万元以上的可能性；(2)该保险公司亏本的可能性[2]。

如果我们将一年内的死亡人数设为x，死亡率设为p=0.001，那么这2500人一年内是否死亡可以看作是一个2500倍的伯努利实验[2]，则：

np=2500×0.001=2.5

np(1-p)=2500×0.001×(1-0.001)=2.4975

保险公司的这一业务在这一年的总收入为2500×12=元，支付保险金为2000X元，那么我们可以根据中心极限定理得出结论：

所求概率(1)为：

所求概率(2)为：

由上述计算我们可以看出，一个保险公司亏本的概率几乎为0（现实中的保险公司会进行更专业的风险评估与定价，其保险业务在吸纳足够客户之后其收益会远高于上面的例子），这也是保险公司乐于开展业务的一个原因。

2 大数定理在保险中的应用

大数定律适用于重复随机事件，该定律研究了这类现象出现的规律性和稳定性，若某一事件，在发生次数较少时，其试验结果较不稳定，可以将其看作是个别随机事件，而在试验次数较多时，试验结果则趋于稳定。简言之，大数定律表明，当实验进行足够多次时，事件的频率将无限接近于事件的概率。这就像是人生中常见的掷硬币事件。如果你扔3个硬币，你可能会发现向上的有两个硬币。但随着硬币数量的增加，向上抛硬币的频率将接近0.5。

大数定律在保险业的应用也十分广泛。设想这样一个情况：某保险公司有人参加保险，每人每年需支付12元保险费，而一年中一个人死亡的概率为0.006，一人死亡则其家属可领取1000元保险金。那么我们讨论该保险公司亏本的可能性[3]。

我们不妨设一年内参保人的死亡数为ζ，则ζ～B（,0.006），且当n＞50时，可以用中心极限定理来计算P(a≤ζ≤b)的近似值。已知ζ和保险公司的利润可以近似地看成服从正态分布。

如果保险公司亏本，则有12×-10ζ＜0，即ζ＞120。

此案例中E（ζ）=np，D(ζ)=npq，将其化为标准正态分布，则为：

则P(ζ＞120)=1-P(0≤ζ≤120)

这又从大数定理的角度再次向我们阐述了保险公司不可能亏损。

3 概率统计与社会保险

文章来源：《数学的实践与认识》 网址: http://www.sxdsjyrs.cn/qikandaodu/2021/0208/343.html